Σε μια καθαρή και στεγνή κατσαρόλα βάζουμε το βούτυρο και το λιώνουμε σε χαμηλή φωτιά. Δεν αφήνουμε να κάψει.
Προσθέτουμε σταδιακά το αλεύρι, ενώ ανακατεύουμε διαρκώς για να μη σβολιάσει. Συνεχίζουμε για 3 – 5 λεπτά ακόμα.
Στη συνέχεια προσθέτουμε το γάλα και ανακατεύουμε καλά με αναδευτήρα ή με το μίξερ, φροντίζοντας να κρατήσουμε την κρέμα μας χωρίς σβώλους.
Ρίχνουμε αλάτι και πιπέρι και βράζουμε σε μέτρια φωτιά μέχρι να «δέσει», ενώ ανακατεύουμε διαρκώς.
Κατεβάζουμε την κρέμα μας από τη φωτιά.
Σ’ ένα μπωλ χτυπάμε τα αυγά και τα προσθέτουμε στην κρέμα, ενώ ανακατεύουμε για να γίνει ένα ομοιογενές μείγμα. Ανακατεύουμε την κρέμα μας για λίγο ακόμα πάνω στο ζεστό μάτι της κουζίνας.
Απλώνουμε την κρέμα μας στο ταψί με το παστίτσιο και φροντίζουμε να πάει σε όλη την επιφάνεια.
Ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο στους 180ο C για 30 λεπτά. Λίγα λεπτά πριν σβήσουμε τον φούρνο, μπορούμε να πασπαλίσουμε το παστίτσιο μας με παρμεζάνα ή τριμμένο τυρί για να κάνει κρούστα.